测度论(一)

测度论可以说是一门语言,有一些基本的概念,下面做一个简单的介绍。

样本空间:我们看到一个随机现象,把每个可能的结果当作空间中的一个点。空间需要足够的大,以便容纳模型的复杂度,同时需要足够的小,以便我们能够处理。大多时候,选择都是很容易的。例如,当我们想要对一个硬币的一次投掷的结果进行建模时,空间$\Omega$就只有两个点在里面,即T和H;当硬币被投掷三次,则空间就变成长度为3的T,H的8个组合;当我们不停地投掷时,$\Omega$就成为了所有H和T组成的无限序列的空间。

事件:事件是那些能被问结果是发生还是未发生的问题,是$\Omega$的子集。对应结果的集合能够导致回答“是”。不是所有$\Omega$的子集都是事件。其中一些是,它们组成了一个集族${F}$,是一个$\Sigma$-域。因为不可测集不能求测度,被排除了。

概率:也叫测度,是一个定义在${F}$上的集合函数,也就是给事件赋予一个概率的函数。具有可列可加性。

随机变量:定义在样本空间上的实值函数。

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